Question

（本小題共14分）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分別是棱AD，SC，AB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：PQ∥平面SAD；

（Ⅱ）求證：AC⊥平面SEQ；

（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：取SD中點(diǎn)F，連結(jié)AF，PF．

因?yàn)?P，F(xiàn)分別是棱SC，SD的中點(diǎn)，

所以 FP∥CD，且FP=CD．

又因?yàn)榱庑蜛BCD中，Q是AB的中點(diǎn)，

所以 AQ∥CD，且AQ =CD．

所以 FP//AQ且FP=AQ．

所以 AQPF為平行四邊形．

所以 PQ//AF．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060206042087421593/SYS201506020604260598751106_DA/SYS201506020604260598751106_DA.002.png">平面，

平面，

所以 PQ//平面SAD ． 5分

（Ⅱ）證明：連結(jié)BD，

因?yàn)?△SAD中SA=SD，點(diǎn)E棱AD的中點(diǎn)，

所以 SE⊥AD．

又 平面SAD⊥平面ABCD，

平面SAD 平面ABCD=AD，

SE平面，

所以 SE⊥平面ABCD，

所以SE⊥AC．

因?yàn)?底面ABCD為菱形，

E，Q分別是棱AD，AB的中點(diǎn)，

所以 BD⊥AC，EQ∥BD．

所以 EQ⊥AC，

因?yàn)?SEEQ=E，

所以 AC⊥平面SEQ． 11分

（Ⅲ）【解析】
因?yàn)榱庑蜛BCD中，∠BAD=60°，AB=2，

所以．

因?yàn)镾A=AD=SD=2，E是AD的中點(diǎn)，所以SE=．

由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，

所以三棱錐S-ABC的體積 =． 14分

考點(diǎn)：本題考查立體幾何問題，線面平行的判定，線面垂直的判定，以及體積