已知橢圓=1(a＞b＞0),F1、F2分別為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，θ=∠F1PF2，求θ的最大值及θ取得最大值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

解:設(shè)P(x,y)，則=(c=).

∴|PF1|=a+x.同理|PF2|=a－x.

在△F1PF2中，cosθ=

=

=－1

=－1

=－1.

∵－a≤x≤a,

∴0≤x2≤a2.

∴當(dāng)x=0時(shí)，cosθ=－1最小.

∵t=cosθ在［0，π］上是減函數(shù)，

∴θ=arccos (－1)最大，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，±b).

點(diǎn)評(píng):利用橢圓的第二定義可把橢圓上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))為自變量的一次函數(shù)的函數(shù)值.本例的解法把θ的余弦表示為x的函數(shù)，根據(jù)x的范圍求得了θ的最大值.例題的結(jié)論說明了橢圓的短軸端點(diǎn)對(duì)兩焦點(diǎn)的張角最大.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,O是原點(diǎn).若橢圓上存在一點(diǎn)M,使MA⊥MO,求橢圓離心率e的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓+=1(a＞b＞0)與雙曲線-=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點(diǎn)(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項(xiàng),n2是2m2與c2的等差中項(xiàng),則橢圓的離心率是(    )

A.              B.             C.                 D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓+=1(a＞b＞0)內(nèi)有一點(diǎn)A,F1為左焦點(diǎn),F2為右焦點(diǎn),在橢圓上求一點(diǎn)P,使|PF1|+|PA|取得最值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓+=1 (a>b>0)的左焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為,中心到準(zhǔn)線的距離為，則橢圓的方程為__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓+=1 (a>b>0)的兩準(zhǔn)線間的距離為，離心率為，則橢圓的方程為(    )

A. +=1                                      B. +=1

C. +=1                                      D. +=1

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