Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}（9x）•{log_3}\frac{x}{3}，\frac{1}{9}≤x≤27$．
（Ⅰ）設(shè)t=log₃x，用t表示f（x），并指出t的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的最值，并指出取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)t=log₃x，由x的范圍，可得t的范圍，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得f（x）關(guān)于t的解析式；
（Ⅱ）由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，討論區(qū)間上的單調(diào)性，即可得到所求最值及對(duì)應(yīng)x的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)t=log₃x，由$\frac{1}{9}≤x≤27$，
即有-2≤log₃x≤3，即-2≤t≤3．
此時(shí)，f（x）=-log₃（9x）•（log₃x-1）
=-（log₃x+2）（log₃x-1）=-t²-t+2，
即f（x）=-t²-t+2，其中-2≤t≤3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，$f（x）=-{t^2}-t+2=-{（t+\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$，
又-2≤t≤3，函數(shù)y=-t²-t+2在$[-2，-\frac{1}{2}）$單調(diào)遞增，在$（-\frac{1}{2}，3]$單調(diào)遞減，
所以當(dāng)$t=-\frac{1}{2}$，即${log_3}x=-\frac{1}{2}$，即$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{9}{4}$；
所以當(dāng)t=3，即log₃x=3，即x=27時(shí)，f（x）取得最小值-10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查換元法的運(yùn)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值的求法，及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．