已知F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，點(diǎn)P滿足|
PF
1|+|
PF
2|=4，記點(diǎn)P的軌跡為E，
（1）求軌跡E的方程；
（2）如果過點(diǎn)Q（0，m）且方向向量為
c
=（1，1）的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)
OA
•
OB
=0時(shí)，求△AOB的面積．
分析：解：（1）點(diǎn)P滿足|
PF
1|+|
PF
2|=4，得出點(diǎn)P的軌跡是以（
3
，0），（-
3
，0）為焦點(diǎn)的橢圓從而寫出點(diǎn)P的軌跡方程即可．
（2）依題意直線AB的方程為y=x+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直的條件可求得m值，最后利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合三角形的面積公式即可解決問題．
解答：解：（1）∵點(diǎn)P滿足|
PF
1|+|
PF
2|=4，
∴
(x+
3
)2+y2
+
(x-
3
)2+y2
=4
∴點(diǎn)P的軌跡是以（
3
，0），（-
3
，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
a=2，c=
3
，b=1，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為
x2
4
+y2=1
（2）依題意直線AB的方程為y=x+m．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
代入橢圓方程，得5x2+8mx+4m2-4=0，（1分）△=64m2-20（4m2-4）＞0，∴m2＜5，
x1x2=
4m2-4
5
，y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=
m2-4
5
，
x1x2+y1y2=
5m2-8
5
=0，m2=
8
5
，m=±
2
10
5
，
因此AB=
1+1
|x1-x2|=
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
5
80-16m2
=
4
2
5
5-m2
=
4
170
25
，
dO-AB=
|m|
2
=
2
5
5
，
S△AOB=
1
2
|AB|•d=
2
5
(5-m2)m2
=
2
136
25
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)與其性質(zhì)的應(yīng)用，注意（2）的處理弦長(zhǎng)問題的一般方法，將直線的方程代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得m值，從而解決問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=4，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）曲線E的一條切線為l，過F1，F(xiàn)2作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F1M|•|F2N|的值；
（3）曲線E的一條切線為l，與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值，并求此時(shí)切線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面內(nèi)一點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-
3
 ， 0)和F2(
3
 ， 0)的距離的差的絕對(duì)值為2．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程C；
（Ⅱ）設(shè)過（0，-2）的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•綿陽二模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2且平行于y軸的直線交雙曲線的漸近線于M N兩點(diǎn)．若△MNF1為銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（A）（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=4，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）曲線E的一條切線為l，過F1，F(xiàn)2作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F1M|•|F2N|的值；
（3）曲線E的一條切線為l，與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值，并求此時(shí)切線的斜率．

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