Question

橢圓的中心在原點(diǎn)O，短軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)為F（-c，0）（c＞0），相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)F分的比為3，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若PF⊥QF，求直線(xiàn)PQ的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)=1，則c²+（）²=a²，準(zhǔn)線(xiàn)l：x=，
由點(diǎn)F分的比為3，得-c=3c，
解得a²=4，c=1，得橢圓方程為：．（5分）
（2）設(shè)PQ：y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F(xiàn)（-1，0）．
∵PF⊥QF，∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
即（x₁+1）（x₂+1）+k²（x₁+4）（x₂+4）=0，
（1+k²）x₁x₂+（1+4k²）（x₁+x₂）+（1+16k²）=0（4分）
聯(lián)立，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0
∴x₁x₂=，x₁+x₂=（4分）
代入化簡(jiǎn)得8k²=1，∴k=±．
∴直線(xiàn)PQ的方程為y=（x+4）或y=（x+4）．（2分）
分析：（1）設(shè)橢圓的方程為 設(shè)=1，，由已知得到-c=3c，又c²+（）²=a²，解得 a，c，最后寫(xiě)出橢圓的方程和離心率．
（2）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=k（x+4），將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系公式即可求得k值，從而解決問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線(xiàn)方程，平面向量的計(jì)算，曲線(xiàn)和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．解答的關(guān)鍵是利用方程思想利用設(shè)而不求的方法求出k值．