橢圓的中心在原點(diǎn)O，短軸長為數(shù)學(xué)公式，左焦點(diǎn)為F（-c，0）（c＞0），相應(yīng)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)F分數(shù)學(xué)公式的比為3，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若PF⊥QF，求直線PQ的方程．

解：（1）設(shè)=1，則c2+（）2=a2，準(zhǔn)線l：x=，
由點(diǎn)F分的比為3，得-c=3c，
解得a2=4，c=1，得橢圓方程為：．（5分）
（2）設(shè)PQ：y=k（x+4），P（x1，y1），Q（x2，y2），F(xiàn)（-1，0）．
∵PF⊥QF，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，
即（x1+1）（x2+1）+k2（x1+4）（x2+4）=0，
（1+k2）x1x2+（1+4k2）（x1+x2）+（1+16k2）=0（4分）
聯(lián)立，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-12=0
∴x1x2=，x1+x2=（4分）
代入化簡得8k2=1，∴k=±．
∴直線PQ的方程為y=（x+4）或y=（x+4）．（2分）
分析：（1）設(shè)橢圓的方程為 設(shè)=1，，由已知得到-c=3c，又c2+（）2=a2，解得 a，c，最后寫出橢圓的方程和離心率．
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=k（x+4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系公式即可求得k值，從而解決問題．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．解答的關(guān)鍵是利用方程思想利用設(shè)而不求的方法求出k值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x+
3
y-
3
=0與橢圓Γ交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2，且∠AOB=
π
2
．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若M、N是橢圓Γ上的兩點(diǎn)，且滿足
OM
•
ON
=0，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過右焦點(diǎn)F的直線與右準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線與x軸交于C點(diǎn)，若|
FC
|，|
CD
|，|
FD
|成等差數(shù)列，且公差等于短軸長的
1
6
．
（1）求橢圓的離心率； 
（2）若△OAB的面積為20
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•東城區(qū)二模）已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，離心率e=
3
2
，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0，
2
），點(diǎn)M為直線y=
1
2
x與該橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，平行于OM的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•通州區(qū)一模）已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，短半軸的端點(diǎn)到其右焦點(diǎn)F（2，0）的距離為
10
，過焦點(diǎn)F作直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若橢圓上有一點(diǎn)C，使四邊形AOBC恰好為平行四邊形，求直線l的斜率．

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