Question

定義：若對任意n∈N^*，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n都為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為“完全平方數(shù)列”；特別的，若存在n∈N^*，使數(shù)列{a_n}的前n項和S_n為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為“部分平方數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{a_n}為“部分平方數(shù)列”，且a_n=

2，      n=1 2n-1， n≥2

（n∈N^*），求使數(shù)列{a_n}的前n項和S_n為完全平方數(shù)列時n的值；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=（n-t）²（其中t∈N^*），那么數(shù)列{|b_n|}是否為“完全平方數(shù)列”？若是，求出t的值；若不是，請說明理由；
（3）試求所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的應用

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，利用定義可求n的值；
（2）|b_n|=

(t-1)2，n=1 |2n-2t-1|，n≥2

，分類討論可得結(jié)論；
（3）S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=(

2d

2

)2[n+（

a1

d

-

1

2

）]²-（

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

），可得

2d

2

∈Z，

a1

d

-

1

2

∈Z，

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

=0，即可求出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵S_n=2+

2×(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ，
∴n=2k時，S_n=（2^k）²是完全平方數(shù)列；
（2）n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2n-2t-1．
n=1時，b₁=（1-t）²≥0，不滿足上式，
∴|b_n|=

(t-1)2，n=1 |2n-2t-1|，n≥2

，
①t=1時，2n-2t-1=2n-3＞0，∴數(shù)列{|b_n|}與原數(shù)列相同，是“完全平方數(shù)列”；
②t≠1時，不是“完全平方數(shù)列”；
（3）設等差數(shù)列的首項為a₁，公差為d，則
S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=(

2d

2

)2[n+（

a1

d

-

1

2

）]²-（

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

），
∴

2d

2

∈Z，

a1

d

-

1

2

∈Z，

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

=0，
令

2d

2

=k，則d=2k²；

a1

d

-

1

2

=m，則a₁=k²（2m+1），
代入

a12

2d

-

a1

2

+

d

8

=0，可得mk=0，
①k=0，則a_n=0；
②k≠0，則a₁=k²，d=2k²，∴a_n=k²（2n-1），
a_n=0符合上式，
∴所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列為a_n=k²（2n-1）．

點評：本題考查數(shù)列的應用，考查新定義，考查數(shù)列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，有難度．