Question

（2013•南充一模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞1，b＞0)的焦距為2c，離心率為e，若點（-1，0）與點（1，0）到直線

x

a

-

y

b

=1的距離之和為S，且S≥

4

5

c，則離心率e的取值范圍是（　�。�

• A．[

  5

  2

  ，

  5

  ]
• B．[

  2

  ，

  7

  ]
• C．[

  5

  2

  ，

  7

  ]
• D．[

  2

  ，

  5

  ]

Answer 1

分析：直線l的方程是

x

a

-

y

b

=1．點（1，0）到直線l的距離 d₁，點（-1，0）到直線l的距離d₂，s=d₁+d₂以及由 S≥

4

5

c，求出e的取值范圍．

解答：解：直線l的方程為

x

a

-

y

b

=1，即bx-ay-ab=0．
由點到直線的距離公式，且a＞1，得到點（1，0）到直線l的距離 d₁=

|b(a-1)|

a2+b2

，
同理得到點（-1，0）到直線l的距離．d₂=

|b(a+1)|

a2+b2

，s=d₁+d₂=

2ba

a2+b2

=

2ab

c

．
由S≥

4

5

c，即

2ab

c

≥

4

5

c得5

c2-a2

•a≥2c²．
于是得4e⁴-25e²+25≤0．
解不等式，得

5

4

≤e 2≤5．
由于e＞1＞0，
所以e的取值范圍是 e∈[

5

2

，

5

]．
故選A．

點評：本題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運算能力．