Question

已知函數(shù)，
（1）當(dāng)時(shí)，求f（x）的反函數(shù)g（x）；
（2）求關(guān)于x的函數(shù)y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3）當(dāng)x∈[-1.1]時(shí)的最小值h（a）；
（3）我們把同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”：
①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p，q]（p＜q）使得函數(shù)在區(qū)間[p，q]上的值域?yàn)閇p²，q²]．
（Ⅰ）判斷（2）中h（x）是否為“和諧函數(shù)”？若是，求出p，q的值或關(guān)系式；若不是，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）若關(guān)于x的函數(shù)y=+t（x≥1）是“和諧函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f（x）看成關(guān)于x的方程，求出x，將x，y互換得到g（x）．
（2）通過換元，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，求出對(duì)稱軸，通過對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系的討論，求出最小值g（a）．
（3）據(jù)和諧函數(shù)的定義，列出方程組，求出p，q滿足的條件．
解答：解：（1）由得
∴
 （2）令t=f^-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知．
∴函數(shù)y=[f^-1（x）]²-2a[f^-1（x）]+3=t²-2at+3  
對(duì)稱軸x=a（a≤3）
時(shí)，
②，y_min=a²-2a²+3=3-a²．
∴．
   （3）對(duì)（2）中，
易知g（x）在（-∞，3]上單減．
（3）（I）若g（x）為“和諧函數(shù)”，則g（x）在（-∞，3]上存在區(qū)間[p，q]（p＜q），使得g（x）在區(qū)間[p，q]
上的值域?yàn)閇p²，q²]．
①若，g（x）遞減，
 得p+q=，
這與矛盾．
②時(shí)恒成立

此時(shí)p、q、滿足，這樣的p，q存在．
③時(shí)，解得矛盾                     
∴（2）中g(shù)（x）是“和諧函數(shù)”，p、q滿足
（II）∵在[1，+∞）遞增，有和諧函數(shù)的定義知，該函數(shù)在定義域[1，+∞）內(nèi)，存在區(qū)間[p，q]（p＜q），使得該函數(shù)在區(qū)間[p，q]上的值域?yàn)閇p²，q²]
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義題，關(guān)鍵是理解透題中的新定義，此題型是近幾年高考常考題型．求分段函數(shù)的函數(shù)值關(guān)鍵是判斷出自變量所屬的范圍．