Question

數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₃=b₃=6，a₄=b₄=4，a₅=b₅=3，且{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列，{b_n-2}（n∈N^*）是等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（II）n取何值時，a_n-b_n取到最小正值？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

（I）設(shè)c_n=a_n+1-a_n，數(shù)列{a_n+1-a_n}的公差為d，
則c₃=a₄-a₃=-2，c₄=a₅-a₄=-1，
∴d=c₄-c₃=1，
∴c_n=c₃+（n-3）=n-5，
∴a_n+1-a_n=n-5
∴（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₅-a₄）+（a₄-a₃）=（n-6）+（n-7）+…+（-1）+（-2），
∴an-a3=

(n-3)(n-8)

2

，
∴an=

1

2

n2-

11

2

n+18(n∈N*)；（4分）
設(shè)d_n=b_n-2，數(shù)列{b_n-2}的公比是q，則d₃=b₃-2=4，d₄=b₄-2=2，
∴q=

d4

d3

=

1

2

，
∴dn=d3qn-3=4•(

1

2

)n-3=25-n，
∴b_n=2+2^5-n（n∈N^*）（7分）．
（II）a₁-b₁=-5，a₂-b₂=-1，a₃-b₃=a₄-b₄=a₅-b₅=0，
a6-b6=

1

2

，a7-b7=

7

4

＞

1

2

，
猜想：n=6時，a₆-b₆取到最小正值．（9分）
下面用數(shù)學歸納法給以證明：
（1）當n=7時，a7-b7=

7

4

＞

1

2

；
（2）假設(shè)n=k（k≥7，k∈N^*）時，ak-bk＞

1

2

，
當n=k+1時，ak+1=

1

2

(k+1)2-

11

2

(k+1)+18=(

1

2

k2-

11

2

k+18)+k-5
=ak+k-5＞bk+

1

2

+k-5＞bk+1+

1

2

+k-5，
又∵k≥7，∴ak+1＞bK+1+

1

2

，
即ak+1-bK+1＞

1

2

，
∴n=k+1時，猜想成立．
由（1）、（2）知，對任意不少于7的正整數(shù)n，均有an-bn＞

1

2

．
綜上所述，n=6時，a₆-b₆取到最小正值．（14分）
（用函數(shù)單調(diào)性證明相應(yīng)給分）