乙知圓M:(x+)2+y2=36,定點N(,0),點P為圓M上的動點,點O在NP上,點G在MP上,且滿足

(1)求點G的軌跡C的方程;

(2)過點(2,0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點,O是坐標原點,設(shè),是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說明理由.

解:(1)為PN的中點且GQ⊥PN

GQ為PN的中垂線|PG|=|GN| 

∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G點的軌跡是M、N為焦點的橢圓,其長半軸長a=3,半焦距c=,∴短半軸長b=2,∴點G的軌跡方程是 

(2)因為,所以四邊形OASB為平行四邊形.若存在l使得

,則四邊形OASB為矩形

=0

若l的斜率不存在,直線l的方程為x=2,

=>0,與=0矛盾,故l的斜率存在. 

設(shè)l的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2)

∴x1+x2=  ①

y1y2=[k(x1-2)][k(x2-2)]

=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-      ② 

把①,②代入x1x2+y1y2=0得k=±

∴存在直線l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對角線相等.

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