Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+10，
（I）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（II）在區(qū)間[1，2]內(nèi)至少存在一個實數(shù)x，使得f（x）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出導函數(shù)，求出f′（2）即切線的斜率，求出f（2），利用點斜式寫出切線的方程．
（II）分離出參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)g（x），求出g（x）的導函數(shù)，判斷出g（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，求出a的范圍．
解答：解：（I）當a=1時，f′（x）=3x²-2x，f（2）=14，
曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率k=f′（2）=8，
所以曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為8x-y-2=0．
（II）．有已知得：，
設(shè)，，
∵1≤x≤2∴g′（x）＜0
所以g（x）在[1，2]上是減函數(shù)．
∴，
所以．
點評：求切線的方程常利用曲線的導數(shù)在切點處的導數(shù)值為切線的斜率；解決不等式恒成立的參數(shù)范圍問題常采用分離參數(shù)求函數(shù)的最值．