Question

已知函數(shù)f(x)=

1

(x+1)2

(x≠-1)，
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，1）的切線方程；
（2）已知數(shù)列{x_n}的項(xiàng)滿足x_n=（1-f（1））（1-f（2））•…•（1-f（n）），試求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想{x_n}的通項(xiàng)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）欲求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，1）的切線方程，只需求出切線的斜率，即求出函數(shù)在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，從而求出所求；
（2）根據(jù)數(shù)列{x_n}的項(xiàng)滿足x_n=（1-f（1））（1-f（2））•…•（1-f（n）），將n=1，2，3，4分別代入，可求出x₁，x₂，x₃，x₄的值；
（3）根據(jù)（2）可猜想{x_n}的通項(xiàng)，然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟進(jìn)行證明，解題的關(guān)鍵利用x_k+1=x_k（1-f（k+1））進(jìn)行求解．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

(x+1)2

(x≠-1)，
∴f′（x）=-

2

(x+1)3

則f′（0）=-2
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，1）的切線方程為y-1=（-2）×（x-0）即2x+y-1=0
（2）∵f(x)=

1

(x+1)2

(x≠-1)，
∴f（1）=

1

4

，f（2）=

1

9

，f（3）=

1

16

，f（4）=

1

25

∴x₁=1-f（1）=1-

1

4

=

3

4

，x₂=（1-f（1））（1-f（2））=

3

4

×

8

9

=

2

3

=

4

6

，
x₃=（1-f（1））（1-f（2））（1-f（3））=

3

4

×

8

9

×

15

16

=

5

8

，
x₄=（1-f（1））（1-f（2））（1-f（3））（1-f（4））=

3

4

×

8

9

×

15

16

×

24

25

=

3

5

=

6

10

，
（3）猜想{x_n}的通項(xiàng)為x_n=

n+2

2n+2

①當(dāng)n=1時(shí)，x₁=1-f（1）=1-

1

4

=

3

4

，滿足通項(xiàng)公式；
②假設(shè)n=k時(shí)成立則x_k=

k+2

2k+2

；
則n=k+1時(shí)，x_k+1=（1-f（1））（1-f（2））•…•（1-f（k+1））=

k+2

2k+2

×（1-

1

(k+2)2

）=

k+3

2k+4

=

(k+1)+2

2(k+1)+2

，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)成立
由①②可得x_n=

n+2

2n+2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及數(shù)學(xué)歸納的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題．