Question

如下圖，AB是半圓直徑，C為中點，CD⊥AB于D交AE于F，求證：AF=CF．

Answer 1

答案：略
解析：

證法1：如下圖，延長CD交圓O于H，連結AC． ∵CD⊥AB，AB是直徑，∴． ∵C為的中點，∴．∴．∴∠CAE=∠ACH．∴AF=CF． 證法2：連結OC、AC，由于C為中點，O為圓心，則OC⊥AE． 　 　 ∵CD⊥AB，∴∠OCD=∠OAE． ∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC．∴∠DCA=∠CAE． ∴AF=CF． 證法3：連結AC、BC． ∵AB是直徑，∴AC⊥BC． ∵CD⊥AB，∴∠B=∠ACD． ∵，∴∠B=∠CAE．∴∠CAE=∠ACD，∴AF=CF．

提示：

分析1：欲證AF=CF，只需證∠ACD=∠CAE，由于∠CAE對，只需證∠ACO所對的弧與相等，即與相等，畫出等半圓找到∠C對的弧即可． 分析2：如下圖，欲證∠CAE=∠ACD，連OC后，得到∠CAO=∠ACO，故只需證∠EAO=∠OCD，因CD⊥AB，只需證OC⊥AE，由C為中點，便有OC⊥AE． 分析3：如下圖，欲證∠CAE=∠ACD，因，可得∠CAE=∠ABC，故只需證∠ACD=∠B，這由∠ACB=90°，CD⊥AB可得．