Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．兩式相減得a_2n+1+a_2n-1=2．從而a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，a_2n+3=a_2n-1（n∈N^*）．由此能求出a_n．

解答： 解：因?yàn)閿?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，
所以a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．
兩式相減得a_2n+1+a_2n-1=2．
所以a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，
所以a_2n+3=a_2n-1（n∈N^*）．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁=1，
當(dāng)n=2k-1（k∈N*）時(shí)，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁=1，
由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N*）．
所以a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁=8k-6，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁=8k-2，
所以a_n=

1，n=4k-3 2n-2，n=4k-2 1，n=4k-1 2n-2，n=4k

，（k∈N^*）．
故答案為：

1，n=4k-3 2n-2，n=4k-2 1，n=4k-1 2n-2，n=4k

，（k∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．