Question

(07年廣東卷) (14分)在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．

  (1)求圓的方程；

  (2)試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點F的距離等于線段的長．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：(1)設圓心坐標為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)²+(y-n)²=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則

=2        即=4       ①   

又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得

m²+n²=8           ②

聯(lián)立方程①和②組成方程組解得

故圓的方程為(x+2)²+(y-2)²=8

(2)=5，∴a²=25，則橢圓的方程為

其焦距c==4，右焦點為(4，0)，那么=4。

要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于的長度4，我們可以

轉(zhuǎn)化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓(x─4)²+y²=8與(1)所求的圓的交點數(shù)。

通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=

即存在異于原點的點Q(，)，使得該點到右焦點F的距離等于的長。