設(shè)橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1、F2，P是橢圓上任一點(diǎn)，若∠F1PF2的最大值為
2π
3
．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且l與以原點(diǎn)為圓心，短軸長為直徑的圓相切．已知|MN|的最大值為4，求橢圓的方程和直線l的方程．
分析：（1）由橢圓的定義可知，|PF1|+|PF2|=2a?，由余弦定理可得，COS∠F1PF2=
PF12+
PF
2
2
- F1F22
2PF1•PF2
，代入可求離心率
（2）由（I）可得e=
3
2
，從而可得橢圓方程為y2+4x2=4b2，該直線l：y=kx+m．由直線l與圓x2+y2=b2相切，可得m2=b2（1+k2），聯(lián)立方程
y2+4x2=4b2
y=kx+m
可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0而|MN|=4
3
b•
1
1+k2
+
3
1+k2
≤2b?可求
解答：解：∵橢圓方程為
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）?
（1）|PF1|+|PF2|=2a?
cosF1PF2=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1|•|PF2|
=
4a2-4c2
2|PF1|•|PF2|
-1＞1-2e2=-
1
2

∴e=
3
2

（2）∵e=
3
2
，∴a2=4b2．?
∴橢圓方程為y2+4x2=4b2?
該直線l：y=kx+m．?
∵直線l與圓x2+y2=b2相切，∴m2=b2（1+k2）①?
從
y2+4x2=4b2
y=kx+m
得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0
∵|MN|=4
3
b•
1
1+k2
+
3
1+k2
≤2b?
當(dāng)且僅當(dāng)k=±
2
時取等號．
∴l(xiāng)：y=±
2
x+2
3

此時橢圓方程為：
x2
4
+
y2
16
=1．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的性質(zhì)的簡單運(yùn)用，及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了考試的基本運(yùn)算的能力，屬于綜合性試題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1，（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，已知向量
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），且
m
•
n
=0，若橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)：
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞0F是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1的橢圓E的一個焦點(diǎn)，P、A，B是橢圓E上的點(diǎn)，
PF
與x軸平行，
PF
=
a
4
，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
i
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，
i
⊥
n
原點(diǎn)O與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成的△AOB的面積為S
（I ）求橢圓E的離心率
（II）設(shè)橢圓E上的點(diǎn)與橢圓£的長軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值等于2，S是否為定值？如果是，求出這個定值：如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x2-y2=1的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓x2+y2=4．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線y=
2
x+m交橢圓于A、B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P(1，
2
)，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河南模擬 題型：解答題

設(shè)橢圓M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x2-y2=1的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓x2+y2=4．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線y=
2
x+m交橢圓于A、B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P(1，
2
)，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：眉山二模 題型：解答題

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1，（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，已知向量
m
=（
x1
b
，
y1
a
），
n
=（
x2
b
，
y2
a
），且
m
•
n
=0，若橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)：
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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