Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，
（1）求（1+x₁）（1+x₂）的值；
（2）求證：x₁＜-1且x₂＜-1；（3）若

x1

x2

∈[

1

10

，10]，試求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中關(guān)于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，由韋達(dá)定理可得x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，代入（1+x₁）（1+x₂）的展開式，即可求出（1+x₁）（1+x₂）的值．
（2）由已知結(jié)合一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△符號(hào)的關(guān)系，可得△≥0，進(jìn)而可以判斷出a的取值范圍，進(jìn)而判斷出f（-1）=a＞0，進(jìn)而得到x₁＜-1且x₂＜-1；
（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，我們可以給出a的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到a的最大值．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，
由韋達(dá)定理可得x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，
（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁•x₂=1-

1

a

+

1

a

=1
（2）由方程的△≥0，可推得二次函數(shù)f（x）=ax²+x+1圖象的對(duì)稱軸
x=-

1

2a

＜-1，又由于f（-1）=a＞0，
所以f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)均位于（-1，0）的左側(cè)，故得證；
（3）結(jié)合（1）的結(jié)論可得，-

1

x2

∈[

1

11

，

10

11

]，
而a=

1

x1x2

=-[(-

1

x2

)-

1

2

]2+

1

4

．
所以a的最大值為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)關(guān)系，其中（1）的關(guān)鍵是由韋達(dá)定理求出x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)△≥0，判斷出a的取值范圍，（3）的關(guān)鍵是結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，給出a的表達(dá)式．