Question

設關于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有兩個實根x₁，x₂，
（1）求（1+x₁）（1+x₂）的值；
（2）求證：x₁＜-1且x₂＜-1；（3）若

x1

x2

∈[

1

10

，10]，試求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中關于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有兩個實根x₁，x₂，由韋達定理可得x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，代入（1+x₁）（1+x₂）的展開式，即可求出（1+x₁）（1+x₂）的值．
（2）由已知結合一元二次方程根的個數(shù)與△符號的關系，可得△≥0，進而可以判斷出a的取值范圍，進而判斷出f（-1）=a＞0，進而得到x₁＜-1且x₂＜-1；
（3）結合（1）（2）的結論，我們可以給出a的表達式，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質，得到a的最大值．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有兩個實根x₁，x₂，
由韋達定理可得x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，
（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁•x₂=1-

1

a

+

1

a

=1
（2）由方程的△≥0，可推得二次函數(shù)f（x）=ax²+x+1圖象的對稱軸
x=-

1

2a

＜-1，又由于f（-1）=a＞0，
所以f（x）的圖象與x軸的交點均位于（-1，0）的左側，故得證；
（3）結合（1）的結論可得，-

1

x2

∈[

1

11

，

10

11

]，
而a=

1

x1x2

=-[(-

1

x2

)-

1

2

]2+

1

4

．
所以a的最大值為

1

4

．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數(shù)關系，其中（1）的關鍵是由韋達定理求出x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，（2）的關鍵是根據(jù)△≥0，判斷出a的取值范圍，（3）的關鍵是結合（1）（2）的結論，給出a的表達式．