Question

已知　數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3S_n（n≥1）
（Ⅰ）求a₂及a₃的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3S_n（n≥1），可利用a₂=3S₁，a₃=3S₂，分別求出a₂及a₃的值；
（Ⅱ）由于當(dāng)n≥2時(shí)，

an+1

an

=

3Sn

3Sn-1

=

Sn

Sn-1

=

Sn-1+an

Sn-1

=1+

an

Sn-1

=1+3=4可得出a₂，a₃，…，a_n是以3為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，可求出

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=3S_n（n≥1）及a₁=1可得a₂=3S₁=3a₁=3，a₃=3S₂=12
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，

an+1

an

=

3Sn

3Sn-1

=

Sn

Sn-1

=

Sn-1+an

Sn-1

=1+

an

Sn-1

=1+3=4
因此a₂，a₃，…，a_n是以3為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．
當(dāng)n≥2時(shí)　　Sn=1+

3(1-4n-1)

1-4

=4n-1
又n=1時(shí)，S₁=1=4^1-1
綜上可得：S_n=4^n-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和與數(shù)列的和與項(xiàng)之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是整理出數(shù)列具有特殊的性質(zhì)，比如是一個(gè)等比數(shù)列．