Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2e時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在[1，3]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
當．（2分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數(shù)；
單調(diào)遞增區(qū)間是．
極小值是．（6分）
（2）由．
又函數(shù)為[1，3]上單調(diào)減函數(shù)，
則g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式在[1，3]上恒成立．
即在[1，3]上恒成立．（10分）
又在[1，3]為減函數(shù)，
所以．
所以．（12分）
分析：（1）當a=-2e時，我們易得到函數(shù)的解析式，進而求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，列表討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在[1，3]上是減函數(shù)，則g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，并轉(zhuǎn)化為a的不等式，解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)原函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．