有冪函數(shù)y＝xα(α≠0)若干個，每個函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一：①是奇函數(shù)；②是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)；③函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，又已知同時具有性質(zhì)①的共有15個，具有性質(zhì)②的共有12個，具有性質(zhì)③的共有18個，試問這些冪函數(shù)共有幾個？其中冪指數(shù)小于零的有幾個？

答案：
解析：

　　解：設(shè)這些冪函數(shù)中分別具備性質(zhì)①、②、③的函數(shù)分別組成集合A、B、C．而冪指數(shù)小于零的全體構(gòu)成集合D．依題意有Card(A)＝15，Card(B)＝12，Card(C)＝18，又由冪函數(shù)的性質(zhì)知在R內(nèi)是增函數(shù)一定是奇函數(shù)，且圖象一定經(jīng)過原點；又若一個函數(shù)是奇函數(shù)，且圖象又經(jīng)過原點的冪函數(shù)一定是在R上的增函數(shù)．

　　∴BA，BC，A∩CB，BA∩C．

　　∴A∩C＝B．

　　則Card(A∪B∪C)＝Card(A∪C)＝Card(A)＋Card(C)－Card(A∩C)

　�。紺ard(A)＋Card(C)－Card(B)＝15＋18－12＝21，

　　即共有冪函數(shù)21個．

　　又冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)圖象一定不經(jīng)過原點，反之亦然，故其中冪指數(shù)小于零的函數(shù)有21－18＝3個．

　　思路分析：由題意可以把分別具備性質(zhì)①、②、③的函數(shù)分別組成集合A、B、C，能用集合的相關(guān)運算解決．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：學(xué)習周報　數(shù)學(xué)　人教課標高一版(A必修1)　2009－2010學(xué)年　第8期　總164期 人教課標高一版 題型：022

冪函數(shù)y＝xn，當n取不同的正數(shù)時，它們在區(qū)間[0，1]上的圖象是一族美麗的曲線，如下圖．設(shè)點A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么α＋β＝________，αβ＝________(精確到0.01．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：安徽省蚌埠三中2011-2012學(xué)年高一12月月考數(shù)學(xué)試題 題型：022

給出下列命題：

①y＝1是冪函數(shù)；

②函數(shù)y＝|x＋2|－2x在R上有3個零點；

③的解集為[2，＋∞)；

④當n≤0時，冪函數(shù)y＝xn的圖象與兩坐標軸不相交；

其中真命題的序號是_________(寫出所有正確命題的編號)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：設(shè)計必修一數(shù)學(xué)(人教A版) 人教A版 題型：044

針對冪函數(shù)y＝xn(n∈Q)，四位同學(xué)談了他們的認識：

甲：所有圖象的公共點有四個．

乙：每個函數(shù)不是關(guān)于y軸對稱，就是關(guān)于原點對稱．

丙：如果冪指數(shù)0＜n1＜n2＜n3，則當x＞0時，y＝xn2的圖象夾在y＝xn1與y＝xn3兩個圖象之間．

�。汉瘮�(shù)的圖象與y軸無公共點．

到底誰的認識是正確的？對于冪函數(shù)，你又有怎樣的理解呢？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省唐山一中2012屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

下列四個結(jié)論：①冪函數(shù)y＝xa的圖象與與直線y＝x可能有三個交點；②若b≤0，則函數(shù)y＝ax＋b－1(a＞0，a≠1)的圖象不經(jīng)過第一象限；③若x＋x－1＝3，則＝1；④函數(shù)定義域為R，則m的取值范圍為[0，)；其中正確結(jié)論個數(shù)為

[　　]
A．

①②④

B．

①②③

C．

①③

D．

②④

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