Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面BB₁C₁C、BB₁A₁A為全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥側面BB₁C₁C，D為棱C₁C上異于C、C₁的一點，且DB⊥DA₁．
（1）求證：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A-DB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，可知BA，BC，BB₁兩兩垂直，以B為坐標原點，BC為x軸，BB₁為y軸，BA為z軸建立空間坐標系，則，由向量法能夠證明B₁D⊥平面ABD．
（2）由題意A₁B₁⊥B₁D，又，故，B₁D⊥AD，設二面角A-DB₁-A₁的大小為θ，由向量法能夠求出二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值．
解答：（1）證明：依題意，可知BA，BC，BB₁兩兩垂直，
以B為坐標原點，BC為x軸，BB₁為y軸，BA為z軸建立空間坐標系，
則B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B₁（0，2，0），A₁（0，2，1），C₁（1，2，0）
設D（1，y，0），則，
∵DB⊥DA₁，
從而，
∴，
∴B₁D⊥BD，B₁D⊥BA，
∴B₁D⊥平面ABD；
（2）解：由題意A₁B₁⊥B₁D，
又，
∴，
∴B₁D⊥AD，
設二面角A-DB₁-A₁的大小為θ
則，
即二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值為．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，注意向量法的合理運用．