Question

已知

m

=（cosωx+sinωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0．設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，且函數(shù)f（x）的周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a，b，c成等差數(shù)列，當(dāng)f（B）=1時，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量積得出f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx進而化簡成f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），然后根據(jù)周期公式得出答案．
（II） 首先根據(jù)條件求出sin(2B=

π

6

)=

1

2

，進而由角的范圍求出B的度數(shù)，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得出2b=a+c，從而利用余弦定理求出角B的度數(shù)進而判斷三角形的形狀．

解答：解：
（I）∵

m

=(cosωx+sinωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)  (ω＞0)

∴f(x)= m • n = m =cos2ωx-sin2ωx+2 3 cosωxsinωx=cos2ωx+ 3 sin2ωx， ∴f(x)=2sin(2ωx+ π 6 )

∵函數(shù)f（x）的周期為π∴T=

2π

2ω

=π∴ω=1
（Ⅱ）在△ABC中f(B)=1∴2sin(2B+

π

6

)=1∴sin(2B=

π

6

)=

1

2

又∵0＜B＜π∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

7

6

π
∵2B+

π

6

=

5π

5

∴B=

π

3

∵a，b，c成等差∴2b=a+c
∴cosB=cos

π

3

=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∴ac=a2+c2-

(a+c)2

4

化簡得：a=c又∵B=

π

3

∴△ABC為正三角形

點評：本題考查了三角函數(shù)周期性的求法以及利用余弦定理判斷三角形的形狀，解題過程要特別注意角的范圍，屬于中檔題．