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設Sn,Tn分別為下列表格中的兩個等差數列{an},{bn}的前n項和.

n

1

2

3

4

5

6

7

an

5

3

1

-1

-3

-5

-7

bn

-14

-10

-6

-2

2

6

10

(1)請求出S1,S2,S4,S5和T2,T3,T5,T6;

(2)根據上述結果,對于存在正整數k滿足ak+ak+1=0的等差數列{an}的前n項和Sn(n≤2k-1)的規(guī)律,猜想一個正確的結論,并加以證明.

解:(1)數列{an}中,a1=5,公差d=-2.

∴Sn=na1+d=5n+×(-2)=-n2+6n,

∴S1=5,S2=8,S4=8,S5=5.                                                        

數列{bn}中,b1=-14,d′=4.∴Tn=-14n+×4=2n2-16n,

∴T2=-24,T3=-30,T5=-30,T6=-24.                                                  

(2)若ak+ak+1=0,則Sk+n=Sk-n(或Sn=S2k-n)(n≤2k-1,k>n).

證明如下:∵{an}是等差數列,

∴Sk-n-Sk+n=(k-n)a1+d-(k+n)a1

=-2na1+[(k-n)2-k+n-(k+n)2+k+n]

=-2na1+(k2-2kn+n2+n-k2-2kn-n2+n)

=-2na1+(-4kn+2n)=-2na1+dn(1-2k).                                           

又∵ak+ak+1=0,∴a1+(k-1)d+a1+kd=0,d=,

∴Sk-n-Sk+n=-2na1+(1-2k)=0,即Sk-n=Sk+n.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a2x+1
3x-1
(a∈N)
,方程f(x)=-2x+7有兩個根x1,x2,且x1<1<x2<3.
(1)求自然數a的值及f(x)的解析式;
(2)記等差數列{an}和等差數列{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,且
Sn
Tn
=f(n),(n∈N*)
,設g(n)=
an
bn
,求g(n)的解析式及g(n)的最大值;
(3)在(2)小題的條件下,若a1=10,寫出數列{an}和{bn}的通項,并探究在數列{an}和{bn}中是否存在相等的項?若有,求這些相等項從小到大排列所成數列{cn}的通項公式;若沒有,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數數學公式,方程f(x)=-2x+7有兩個根x1,x2,且x1<1<x2<3.
(1)求自然數a的值及f(x)的解析式;
(2)記等差數列{an}和等差數列{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,且數學公式,設數學公式,求g(n)的解析式及g(n)的最大值;
(3)在(2)小題的條件下,若a1=10,寫出數列{an}和{bn}的通項,并探究在數列{an}和{bn}中是否存在相等的項?若有,求這些相等項從小到大排列所成數列{cn}的通項公式;若沒有,請說明理由.

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已知函數,方程f(x)=-2x+7有兩個根x1,x2,且x1<1<x2<3.
(1)求自然數a的值及f(x)的解析式;
(2)記等差數列{an}和等差數列{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,且,設,求g(n)的解析式及g(n)的最大值;
(3)在(2)小題的條件下,若a1=10,寫出數列{an}和{bn}的通項,并探究在數列{an}和{bn}中是否存在相等的項?若有,求這些相等項從小到大排列所成數列{cn}的通項公式;若沒有,請說明理由.

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