Question

選修4-2　矩陣與變換
已知矩陣A=

3 0 0 4

，點(diǎn)M（-1，-1），點(diǎn)N（1，1）．
（1）求線段MN在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的線段M'N'的長度；
（2）求矩陣A的特征值與特征向量．

Answer 1

分析：（1）已知矩陣A，可以求出點(diǎn)M，N在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)M'，N'，然后再求出線段M'N'的長度；
（2）先根據(jù)特征方程，求出特征值，然后把特征值代入Aα=λα，從而求出特征向量．

解答：解：（1）∵矩陣A=

3 0 0 4

，點(diǎn)M（-1，-1），點(diǎn)N（1，1）．
由

3 0 0 4

-1 -1

 =

-3 -4

，

3 0 0 4

1 1

 =

3 4

，…（2分）
所以M′（-3，-4），N′（3，4），
所以M/N/=

(-3-3)2+(-4-4)2

=10…（4分）
（2）f(λ)=

.

λ-3 0 0 λ-4

.

=(λ-3)(λ-4)=0
得矩陣A特征值為λ₁=3，λ₂=4，…（7分）
分別將λ₁=3，λ₂=4代入方程Aα=λα可解得矩陣A屬于特征值λ₁=3的特征向量為

α1

=

1 0

，
屬于特征值λ₂=4的特征向量為  

α2

=

0 1

．           …（10分）

點(diǎn)評：此題主要考查特征值與特征向量，是一道比較簡單題，這是高考新增的知識點(diǎn)，但不會很難．