Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+x2-2．
（Ⅰ）設{a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為S_n，其中a₁=3．若點（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，求證：點（n，S_n）也在y=f′（x）的圖象上；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（a-1，a）內的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知f′（x）=x²+2x，由點（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N⁺）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，知（a_n-1-a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，所以Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n=f'（n），故點（n，S_n）也在函數(shù)y=f′（x）的圖象上．
（Ⅱ）由f'（x）=0，得x=0或x=-2．然后列表求解函數(shù)f（x）在區(qū)間（a-1，a）內的極值．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為f(x)=

1

3

x3+x2-2，所以f′（x）=x²+2x，
由點（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N⁺）在函數(shù)y=f′（x）的圖象上，
又a_n＞0（n∈N⁺），所以（a_n-1-a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
所以Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n，又因為f′（n）=n²+2n，所以S_n=f'（n），
故點（n，S_n）也在函數(shù)y=f′（x）的圖象上．

（Ⅱ）解：f'（x）=x²+2x=x（x+2），由f'（x）=0，得x=0或x=-2．
當x變化時，f'（x）﹑f（x）的變化情況如下表：

注意到|（a-1）-a|=1＜2，從而
①當，此時f（x）無極小值；
②當a-1＜0＜a，即0＜a＜1時，f（x）的極小值為f（0）=-2，此時f（x）無極大值；
③當a≤-2或-1≤a≤0或a≥1時，f（x）既無極大值又無極小值．

點評：本題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉化與化歸等數(shù)學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．對于a的討論標準找不到或對其討論不全造成結果錯誤．分類討論思想在數(shù)學中是非常重要的思想之一，所以希望能加強這方面的訓練．