Question

設(shè)f（x）=log為奇函數(shù)，b為常數(shù)．
（1）求b的值；
（2）求f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）的值；
（3）若對(duì)于區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=log為奇函數(shù)，b為常數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴+==0，
∴，解得b=±1．
∵b=1時(shí)，=-1，不成立，舍去，∴b=-1．
（2）∵b=-1，∴f（x）=，
∴f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）
=++…++
=
=
=．
（3）∵對(duì)于區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，
∴當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，f（x）-（）^x=-（）^x恒成立，
設(shè)h（x）=-（）^x=，
∵y==在[3，4]上單調(diào)遞增，y=（）^x在[3，4]上單調(diào)遞減，
∴y=h（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，
∴只需m＜h（3）==-，
∴m＜-．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-）．
分析：（1）由f（x）=log為奇函數(shù)，知+==0，由此能求出b．
（2）由f（x）=，知f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）=，由此能求出結(jié)果．
（3）對(duì)于區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，等價(jià)于當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，f（x）-（）^x=-（）^x恒成立，設(shè)h（x）=-（）^x=，推導(dǎo)出y=h（x）在[3，4]上單調(diào)遞增，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查對(duì)數(shù)值的計(jì)算，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時(shí)要注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．