Question

已知直線l₁：x+a²y+1=0、l₂：（a²+1）x-by+3=0（a，b∈R）
（Ⅰ）若l₁∥l₂，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若l₁⊥l₂，求|ab|的最小值．

Answer 1

考點：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）通過l₁∥l₂，斜率相等，截距不相等，推出關(guān)系式，然后求b的取值范圍；
（Ⅱ）利用l₁⊥l₂，得到ab=a+

1

a

，然后利用基本不等式求|ab|的最小值．

解答： 解：（1）∵l₁∥l₂∴k₁=k₂且b₁≠b₂
∴-

1

a2

=

a2+1

b

  且  -

1

a2

≠

3

b

（a²≠0，b≠0）
∴b=-a⁴-a²  且  b≠-6
此時  b＜0且b≠-6
若a²=0
則l₁：x+1=0、l₂：x-by+3=0  
此時b=0
綜上  b∈（-∞，-6）∪（-6，0]
（2）依題意    （a²+1）×1=-1×a2×（-b）
∴a²+1=a²b，∴ab=a+

1

a

，
又∵|ab|＞0
當且僅當a=

1

a

即a=1時等號成立
∴a+

1

a

≥2

1

=2．
∴|ab|≥1，∴|ab|_min=2

點評：本題考查直線與直線的平行與垂直，基本不等式的應用，考查計算能力．