Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）試判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若對(duì)任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（-x）=-f（x）?f（0）=0
則
（2）f（x）為遞增函數(shù)
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
∵x₁＜x₂∴
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）為遞增函數(shù)
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0對(duì)t∈[-2，2]恒成立
則f（t²-2t）＜-f（2t²-k）對(duì)t∈[-2，2]恒成立
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）
則f（t²-2t）＜f（-2t²+k）對(duì)t∈[-2，2]恒成立
又因?yàn)閒（x）為遞增函數(shù)
所以t²-2t＜-2t²+k對(duì)t∈[-2，2]恒成立
即3t²-2t-k＜0對(duì)t∈[-2，2]恒成立
令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，當(dāng)x=-2時(shí)，u_max=16-k
則16-k＜0，則k＞16
分析：（1）由奇函數(shù)的定義得到f（-x）=-f（x），解出f（0）=0代入解析式求解即可
（2）由（1），任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差，利用定義法證明其單調(diào)性；
（3）由奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立的問題轉(zhuǎn)化為，f（t²-2t）＜f（-2t²+k）對(duì)t∈[-2，2]恒成立利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，整理得到一個(gè)一元二次不等式在t∈[-2，2]恒成立，借用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握住奇函數(shù)的性質(zhì)以及定義法證明單調(diào)性的原理與步驟，第三問中解抽象不等式是本題的重點(diǎn)，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性結(jié)合解不等式是這兩個(gè)性質(zhì)的重要運(yùn)用，這幾年的高考中時(shí)有出現(xiàn)，題后要總結(jié)一下此小題的解題規(guī)律，本小時(shí)易因?yàn)檗D(zhuǎn)化不等價(jià)導(dǎo)致錯(cuò)誤，切記．