Question

如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a為正常數(shù)）．過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線交拋物線C于點(diǎn)D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實(shí)數(shù)a，b，k滿(mǎn)足的等量關(guān)系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依拋物線的定義可知：4+

1

2

p=5，可求p，進(jìn)而可求拋物線方程
（Ⅱ）（i）聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求y₁+y₂，y₁y₂．然后結(jié)合|y₁-y₂|=a，可得a，b，k之間的關(guān)系
（ii）由（i）可求AB中點(diǎn)M，進(jìn)而可求點(diǎn)D，代入三角形的面積公式S△ABD=

1

2

DM•|y1-y2|，結(jié)合已知可證

解答：解：（Ⅰ）依題意：4+

1

2

p=5，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）由方程組

y=kx+b y2=4x

消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依題意可知：k≠0．
由已知得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4b

k

．
由|y₁-y₂|=a，得(y1+y2)2-4y1y2=a2
依題意：4+

1

2

p=5，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）由方程組

y=kx+b y2=4x

消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依題意可知：k≠0．
由已知得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4b

k

由|y₁-y₂|=a，得(y1+y2)2-4y1y2=a2，即

16

k2

-

16b

k

=a2，整理得16-16kb=（ak）²．
所以（ak）²=16（1-kb）
（ii）由（i）知AB中點(diǎn)M（

2-bk

k2

，

2

k

），所以點(diǎn)D（

1

k2

，

2

k

），
依題意知S△ABD=

1

2

DM•|y1-y2|
=

1

2

•

|1-bk|

k2

•a
又因?yàn)榉匠蹋ā�）中判別式△=16-16kb＞0，得1-kb＞0．
所以S△ABD=

1

2

×

1-kb

k2

a，由（Ⅱ）可知1-kb=

(ak)2

16

，
所以S△ABD=

1

2

×

a2

16

×a=

a3

32

．
又a為常數(shù)，故△ABD的面積為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用拋物線的定義求解拋物線的方程，直線與曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用及方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，還考查了一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力