研究函數(shù)的對(duì)稱中心有如下結(jié)論：如果存在實(shí)數(shù)a, b使恒成立，則（a, b）為函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心.

   （1）求證函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心為（0，1），并求函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心；

   （2）試用函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換解釋：“如果存在實(shí)數(shù)a, b使恒成立，則（a, b）為函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.”

   （3）是否存在函數(shù)，使函數(shù)的圖象有相同的對(duì)稱中心（c,d）？請(qǐng)對(duì)時(shí)，說明你的結(jié)論與理由.

解：（1）對(duì)于函數(shù)恒成立，

所以的圖象的對(duì)稱中心為（0，1）.

設(shè)的對(duì)稱中心為（a,b）

則恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

所以

所以的圖象的對(duì)稱中心為（－1，0）

（2）由

令為奇函數(shù)，

其圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，

而函數(shù)的圖象可由向右平移a（a>0）或向左平移單位或不進(jìn)行左右平移（a=0），向上平移b（b>0）或向下平移－b（b<0）或不進(jìn)行上下平移（b=0）單位得到，所以的圖像的對(duì)稱中心為（a,b）.

說明：（1）中分別說明，仿（2）也可！

（3）假設(shè)存在函數(shù)，使有相同的對(duì)稱中心（c,d）且，則，且

所以的兩個(gè)實(shí)數(shù)，

而該方程當(dāng)時(shí)，，

所以假設(shè)錯(cuò)誤.

所以，不存在函數(shù)有相同的對(duì)稱中心（c,d），

其中.

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設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心．記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），則有f″（a）=0．研究并利用函數(shù)f（x）=x3-3x2-sin（πx）的對(duì)稱中心，可得f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=
-8046
-8046
．

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(1)函數(shù)的對(duì)稱中心為________．

(2)＝________．

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A．4023　　　     　B．-4023　　　    　C．8046　　　   　D．-8046

 

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