Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，則S_△ABC=$\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，由角A，B，C依次成等差數(shù)列并結(jié)合三角形內(nèi)角和公式求得B=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得sinA，再結(jié)合a＜b求得A，可得C，再由 S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答 解：在△ABC中，由角A，B，C依次成等差數(shù)列，可得A+C=2B，再由三角形內(nèi)角和公式求得B=$\frac{π}{3}$．
由于a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，有正弦定理可得 $\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$，
解得：sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再結(jié)合a＜b求得A=$\frac{π}{4}$，
∴C=$\frac{5π}{12}$，sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×sin\frac{5π}{12}$=$\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$，
故答案為：$\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，正弦定理、根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．