Question

設(shè)x，y，z，a，b，c∈R，若x²+y²+z²=1，a²+b²+c²=1，那么ax+by+cz的最大值為

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，將x²+y²+z²=1和a²+b²+c²=1相加可得x²+a²+y²+b²+z²+c²=1+1=2，由基本不等式的性質(zhì)，可得ax≤

a2+x2

2

，by≤

b2+y2

2

，cz≤

c2+z2

2

，將三個(gè)式子相加可得ax+by+cz≤

a2+x2

2

+

b2+y2

2

+

c2+z2

2

，對(duì)右式變形可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，由x²+y²+z²=1，a²+b²+c²=1，可得x²+a²+y²+b²+z²+c²=1+1=2，
又由ax≤

a2+x2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)a=x時(shí)成立），
by≤

b2+y2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)b=y時(shí)成立），
cz≤

c2+z2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)c=z時(shí)成立）
將三式相加可得：ax+by+cz≤

a2+x2

2

+

b2+y2

2

+

c2+z2

2

=

1

2

（x²+a²+y²+b²+z²+c²）=1，
則ax+by+cz的最大值為1，
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)，要靈活運(yùn)用基本不等式的變形形式，如ab≤（

a+b

2

）²≤

a2+b2

2

等．