Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

+lnx，g（x）=

1

2

x²．
（1）若直線l與f（x）與g（x）都相切，求l的方程；
（2）若對任意x₁＞x₂＞0，不等式t[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用點(diǎn)P在函數(shù)f（x）以及g（x）的圖象上且在點(diǎn)P的導(dǎo)數(shù)相等，即可求出；
（2）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=tg（x）-xf（x）=

1

2

tx²-

1

2

x-xlnx，根據(jù)其單調(diào)性求其導(dǎo)數(shù)，然后分離變量，進(jìn)而求解．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

，g′（x）=x
∴f′（x）=g′（x），可得x=1，
∵f（1）=g（1）=

1

2

，
∴l(xiāng)的方程是2x-y-1=0
（II）若x₁＞x₂＞0，總有t[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，
即若x₁＞x₂＞0，總有tg（x₁）-x₁f（x₁）＞tg（x₂）-x₂f（x₂）成立，
即函數(shù)h（x）=tg（x）-xf（x）=

1

2

tx²-

1

2

x-xlnx，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
即h′（x）=tx-lnx-

3

2

≥0在（0，+∞）上恒成立
即t≥

lnx+ 3 2

x

在（0，+∞）上恒成立
設(shè)G（x）=

lnx+ 3 2

x

，則G′（x）=

-( 1 2 +lnx)

x2

∴G（x）在（0，

1

e

）上為增函數(shù)，在（

1

e

，+∞）上為減函數(shù)，
∴G（x）≤G（

1

e

）=

e

∴t≥

e

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最值，求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程，是綜合題．