Question

已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍。

Answer 1

解：若a=0，則函數(shù)f（x）=2x-3在區(qū)間 [-1，1]上沒有零點，
下面就a≠0時分三種情況討論：
 （1）方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有重根
此時Δ=4（2a²+6a+1）=0
解得
當時，f（x）=0的重根x=；
當時，f（x）=0的重根；
故當方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有重根時，；
（2）f（x）在區(qū)間[ -1，1]上只有一個零點且不是f（x）=0的重根
此時有f（-1）f（1）≤0
∵f（-1）=a-5
f（1）=a-1
∴（a-5）（a-1）≤01≤a≤5
∵當a=5時，方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有兩個相異實根，
故當方程f（x）=0在區(qū)間[-1，1]上只有一個根且不是重根時，1≤a<5。
（3）方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有兩相異實根
因為函數(shù)
其圖象的對稱軸方程為
a應(yīng)滿足：
解不等式組（i）得a≥5
解不等式組（ii）得
故當方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有兩個相異實根時

注意到當1≤a<5時，f（-1）f（1）≤0，方程f（x）=0在區(qū)間 [ -1，1]上有根；
當時，由于，且
方程f（x）=0在[ -1，1]上有根；
當時，方程f（x）=0在區(qū)間[-1，1]有根
綜上所述，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[ -1，1]上有零點，則a的取值范圍是。