Question

（2011•廣州模擬）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，

a

2 n+1

-

a

2 n

=2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an2

2n

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+12-an2=2，可知數(shù)列{

a

2 n

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)可求an2，結(jié)合已知進(jìn)而可求a_n
（2）由（1）

an2

2n

=

2n-1

2n

，利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和

解答：解：（1）因?yàn)?span id="9wzlx9z" class="MathJye">an+12-an2=2，
所以數(shù)列{

a

2 n

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．…（2分）
所以

a

2 n

=1+(n-1)×2=2n-1．…（4分）
因?yàn)閍_n＞0，所以an=

2n-1

（n∈N^*）．…（6分）
（2）由（1）知，an=

2n-1

，所以

an2

2n

=

2n-1

2n

．…（7分）
所以Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，①…（8分）
則

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，②…（9分）
①-②得，

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

…（11分）
=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

…（12分）
=

3

2

-

2n+3

2n+1

．…（13分）
所以Sn=3-

2n+3

2n

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和的重點(diǎn)和難點(diǎn)，要注意掌握