【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PCD，，，，E為AD的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)O.

（1）證明：平面ABCD.

（2）求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）通過(guò)證明平面，得到，再證即可證得平面ABCD.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、直線的方向向量，利用空間向量法求出線面角的正弦值.

（1）證明：平面PCD，平面，，

，為的中點(diǎn)，則且.

四邊形BCDE為平行四邊形，，.

又，且E為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCE為正方形，，又平面，

平面，則.

平面平面，，

又，為等腰直角三角形，

O為斜邊AC上的中點(diǎn)，且平面ABCD.

（2）解：以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示

不妨設(shè)，則,

則.

設(shè)平面PBD的法向量為，

則即

即

令，得.

設(shè)BC與平面所成角為，

則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知F為拋物線焦點(diǎn)，A為拋物線C上的一動(dòng)點(diǎn)，拋物線C在A處的切線交y軸于點(diǎn)B，以FA、FB為鄰邊作平行四邊形FAMB.

（1）證明：點(diǎn)M在一條定直線上；

（2）記點(diǎn)M所在定直線為l，與y軸交于點(diǎn)N，MF與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，，分別為弦，的中點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點(diǎn)，，為橢圓的上、下頂點(diǎn)，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，證明：在第一象限內(nèi)存在定點(diǎn)，使得當(dāng)直線與直線的斜率均存在時(shí)，其斜率之和是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，并求出所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤(pán)上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為，一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動(dòng)一次．若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時(shí)，游戲結(jié)束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6)．

(1)求，，，并根據(jù)棋子跳到第n站的情況，試用和表示；

(2)求證：為等比數(shù)列；

(3)求玩該游戲獲勝的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】醫(yī)院為篩查某種疾病，需要血檢，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；

方式二：混合檢驗(yàn)，把每個(gè)人的血樣分成兩份，取個(gè)人的血樣各一份混在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果結(jié)果是陰性，那么對(duì)這個(gè)人只作一次檢驗(yàn)就夠了；如果結(jié)果是陽(yáng)性，那么再對(duì)這個(gè)人的另一份血樣逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.

（1）假設(shè)有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)岀來(lái)的概率；

（2）假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為.現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

①運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

②若，且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)，且均在第一象限，當(dāng)直線時(shí)，雙曲線的離心率為，若函數(shù)，則（）

A. 1 B. C. 2 D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓：中，，，，的面積為1，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，直線、分別交于、，是否存在點(diǎn)，使，若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】改編自中國(guó)神話故事的動(dòng)畫(huà)電影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一個(gè)月的時(shí)間，票房收入就超過(guò)了38億元，創(chuàng)造了中國(guó)動(dòng)畫(huà)電影的神話.小明和同學(xué)相約去電影院觀看《哪吒之魔童降世》，影院的三個(gè)放映廳分別在7：30，8：00，8：30開(kāi)始放映，小明和同學(xué)大約在7：40至8：30之間到達(dá)影院，且他們到達(dá)影院的時(shí)間是隨機(jī)的，那么他們到達(dá)后等待的時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是（ ）

A.B.C.D.

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