Question

從數列{a_n}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數列，稱為數列{a_n}的一個子數列，設數列{a_n}是一個首項為a₁，公差為d（d≠0）的無窮等差數列．
（1）若a₁，a₂，a₅為公比為q的等比數列，求公比q的值；
（2）若a₁=1，d=2，請寫出一個數列{a_n}的無窮等比子數列{b_n}；
（3）若a₁=7d，{c_n}是數列{a_n}的一個無窮子數列，當c₁=a₂，c₂=a₆時，試判斷{c_n}能否是{a_n}的無窮等比子數列，并說明理由．

Answer 1

（1）由題設，得a₂²=a₁a₅，即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），得d²=2a₁d，又d≠0，
于是d=2a₁，故其公比 q=

a2

a1

=3；
（2）取b₁=3，b₂=9，則數列{a_n}的無窮等比子數列{b_n}可以為b_n=3ⁿ滿足題意；
（3）設等比數列的公比q=

a6

a2

=

3

2

，bm=a2qm-1=8d•(

3

2

)m-1，由題設a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d
假設數列{b_m}為{a_n}的無窮等比子數列，
則對任意自然數m（m≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_m，
即 (n+6)d=8d•(

3

2

)m-1，
得n=8(

3

2

)m-1-6，
當m=5時，n=8(

3

2

)5-1-6=

69

2

∉N*與假設矛盾，
故該數列不為{a_n}的無窮等比子數列．