斜率為k(k>0)的直線l過(guò)定點(diǎn)P(0,m)(m>0),與拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離之差為4k.
(Ⅰ)求拋物線方程;
(Ⅱ)若此拋物線焦點(diǎn)為F,且有|AF|+|BF|=4k2+4,試求m的值;
(Ⅲ)過(guò)拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)Q作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,試探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】
分析:(Ⅰ)設(shè)AB的方程為y=kx+m,A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由
,得x
2-2pkx-2pm=0,利用韋達(dá)定理能求出p,從而求出拋物線方程.
(Ⅱ)因?yàn)閨AF|+|BF|=y
1+y
2+p,由此能求出m的值.
(Ⅲ)設(shè)M
,N
,Q(x
,-1),由
,知x
12-2x
1x+4y=0.由此能推導(dǎo)出直線MN過(guò)點(diǎn)(0,1).
解答:解:(Ⅰ)設(shè)AB的方程為y=kx+m,A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)
則由
,可得x
2-2pkx-2pm=0.(2分)
∴x
1+x
2=2pk,
又依題意有|x
1+x
2|=4k=2pk,
∴p=2.
∴拋物線方程為x
2=4y.(4分)
(Ⅱ)∵|AF|+|BF|=y
1+y
2+p
=k(x
1+x
2)+2m+2
=4k
2+2m+2
=4k
2+4,
∴m=1.(6分)
(Ⅲ)設(shè)M
,N
,Q(x
,-1),
∵
,
∴MQ的方程為
,
∴x
12-2x
1x+4y=0.(8分)
∵M(jìn)Q過(guò)Q,∴x
12-2x
1x
-4=0,
同理x
22-2x
2x
-4=0,
∴x
1,x
2為方程x
2-2x
x-4=0的兩個(gè)根,
∴x
1x
2=-4.(10分)
又
,
∴MN的方程為
∴
,
所以直線MN過(guò)點(diǎn)(0,1).(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,綜合性強(qiáng),是高考的重點(diǎn).本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.