Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）求出，由已知可得，進(jìn)而求出，求出的解，解不等式，即可得出結(jié)論；

（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)，即可求解.

（1），

直線的斜率為，

依題意有，

，設(shè)，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，

，所以在單調(diào)遞增，

單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

有兩個(gè)不同的解，

，令，

等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

，

，

遞增區(qū)間時(shí)，遞減區(qū)間時(shí)

當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值為，

且時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，

即兩個(gè)不同的解，

所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.