Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（I）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；
（II）若f（x）在區(qū)間[-∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）的對稱軸是x=a知函數(shù)在[1，a]遞減，根據(jù)定義域和值域均為[1，a]，列出方程組即可求得a值；
（II）當(dāng)f（x₁）、f（x₂）分別是函數(shù)f（x）的最小值與最大值時(shí)不等式恒成立．由f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)得a≥2，從而函數(shù)在區(qū)間[1，a+1]上的最小值是f（a）=5-a²，函數(shù)的最大值是f（1），最后結(jié)合|f（x₁）-f（x₂）|≤4知（6-2a）-（5-a²）≤4，解得a的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），∴f（x）在[1，a]上是減函數(shù)，
又定義域和值域均為[1，a]，∴

f(1)=a f(a)=1

，即

1-2a+5=a a2-2a2+5=1

，解得 a=2．
（II）∵f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，∴a≥2，
又x=a∈[2，a+1]，且，（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²．
∵對任意的x₁，x₂∈[a，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴f（x）_max-f（x）_min≤4，∴2≤a≤3．

點(diǎn)評：本題以二次函數(shù)為載體，考查二次函數(shù)的值域，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為當(dāng)f（x₁）、f（x₂）分別是函數(shù)f（x）的最小值與最大值時(shí)不等式恒成立．