Question

有編號(hào)為1，2，3，…，n的n個(gè)學(xué)生，入坐編號(hào)為1，2，3，…n的n個(gè)座位．每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為ξ，已知ξ=2時(shí)，共有6種坐法．
（1）求n的值；
（2）求隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）解題的關(guān)鍵是ξ=2時(shí)，共有6種坐法，寫(xiě)出關(guān)于n的表示式，解出未知量，把不合題意的舍去．
（2）學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為ξ，由題意知ξ的可能取值是0，2，3，4，當(dāng)變量是0時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)都相同，當(dāng)變量是2時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)有2個(gè)相同，理解變量對(duì)應(yīng)的事件，寫(xiě)出分布列和期望．

解答：解：（1）∵當(dāng)ξ=2時(shí)，有C_n²種坐法，
∴C_n²=6，
即

n(n-1)

2

=6，
n2-n-12=0，n=4或n=-3（舍去），
∴n=4．

（2）∵學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為ξ，
由題意知ξ的可能取值是0，2，3，4，
當(dāng)變量是0時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)都相同，
當(dāng)變量是2時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)有2個(gè)相同，
當(dāng)變量是3時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)有1個(gè)相同，
當(dāng)變量是4時(shí)表示學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)有0個(gè)相同，
∴P(ξ=0)=

1

A 4 4

=

1

24

，
P(ξ=2)=

C 2 4 ×1

A 4 4

=

6

24

=

1

4

，
P(ξ=3)=

C 3 4 ×2

A 4 4

=

8

24

=

1

3

，
P(ξ=4)=

9

24

=

3

8

，
∴ξ的概率分布列為：

∴Eξ=0×

1

24

+2×

1

4

+3×

1

3

+4×

3

8

=3．

點(diǎn)評(píng)：培養(yǎng)運(yùn)用從具體到抽象、從特殊到一般的觀點(diǎn)分析問(wèn)題的能力，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的化歸思想．啟發(fā)誘導(dǎo)的同時(shí)，訓(xùn)練了學(xué)生觀察和概括歸納的能力．