Question

已知圓C的圓心在y軸上，半徑為1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）．
（1）求圓的方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)P且在圓上截得的弦長(zhǎng)為，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為（0，b），則由題意可得  1=，解出 b 即得圓心坐標(biāo)，根據(jù)半徑
求得圓的方程．
（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè) l的方程，由弦長(zhǎng)公式求得
圓心到直線l 的距離，此距離就是圓心到直線的距離，求出 k 值，即得所求的直線方程．
解答：解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為（0，b），則由題意可得  1=，∴b=2，
故圓心為（0，2），故所求的圓的方程為 x²+（y-2）²=1．
（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為 x=1，此時(shí)，直線l和圓相切，不滿足條件．
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l的方程為 y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
設(shè)圓心到直線l 的距離為d，則由弦長(zhǎng)公式可得  =2，∴d=．
由點(diǎn)到直線的距離公式可得  =，∴k=1，或 k=-1，
故l的方程為 x-y+1=0，或 x+y-3=0．
綜上，l的方程為x-y+1=0，或 x+y-3=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，
求出圓心到直線l 的距離d是解題的關(guān)鍵．