Question

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l分別交x軸、y軸于A（a，0）、B（0，b）兩點（a＞2，b＞2），O為原點．
（1）求證：（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程；
（3）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，其圓心為（1，1），半徑為1依題設直線，由圓C與l相切能夠證明（a-2）（b-2）=2；
（2）設線段AB中點為．由此能夠得到所求的軌跡方程．
（3）．再由基本不等式能夠得到△AOB面積的最小值．
解答：解：（1）∵圓C的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，∴其圓心為（1，1），半徑為1依題設直線，（2分）
由圓C與l相切得：（4分）
（2）設線段AB中點為．（6分）
代入（a-2）（b-2）=2可得2（x-1）（y-1）=1（x＞1）即為所求的軌跡方程．（8分）
（3）．（10分）．（11分）（12分）
點評：本題考查直線和圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細求解，注意公式的合理運用．