Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+a
（Ⅰ）若a=e，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，且對任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=e代入f（x），求出f′（x），令f′（x）＞0和f′（x）＜0，求解即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)f（|x|）為偶函數(shù)，將f（|x|）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）＞0對任意x∈[0，+∞）恒成立，即求f（x）的最小值即可，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分0＜a≤1和a＞1兩種情況分別求解，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-ax+a，
∴當a=e時，f（x）=e^x-ex-e，
∴f'（x）=e^x-e，
令f'（x）＞0，解得x＞1，令f'（x）＜0，解得x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）；
（2）顯然f（|x|）是偶函數(shù)，
∴f（|x|）＞0對任意x∈R恒成立，等價于f（x）＞0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
令f'（x）=e^x-a=0，解得x=lna，
①當a∈（0，1]時，f'（x）＞1-a≥0（x＞0），
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）≥f（0）=1+a＞0，
∴當a∈（0，1]時，符合題意；
②當a∈（1，+∞）時，lna＞0，列表分析：

x	（0，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴f（x）_min=f（lna）＞0，
∴a＜e²，且a＞1，
∴1＜a＜e²．
綜合①②可得，實數(shù)a的取值范圍為（0，e²）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，經(jīng)常會運用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，然后求出跟對應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．