Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=

3

，AD=AA₁=3，E₁為A₁B₁中點．
（Ⅰ）證明：B₁D∥平面AD₁E₁；
（Ⅱ）證明：平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)A₁D交AD₁于G，證明B₁D∥E₁G，利用直線與平面平行的判定定理證明B₁D∥平面AD₁E₁． 
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=H，通過△BHC～△DHA，結(jié)合BC=1，AD=3，求出CH=

1

2

，BH=

3

2

，證明AC⊥BD，然后證明BB₁⊥AC，得到AC⊥平面BDD₁B₁，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)A₁D交AD₁于G，
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為四棱柱，
所以四邊形ADD₁A₁為平行四邊形，
所以G為A₁D的中點，
又E₁為A₁B₁中點，所以E₁G為△A₁B₁D的中位線，
所以B₁D∥E₁G，
又因為B₁D?平面AD₁E₁，E₁G?平面AD₁E₁，
所以B₁D∥平面AD₁E₁． 

（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=H，
因為AD∥BC，所以△BHC～△DHA
又BC=1，AD=3，所以

AH

CH

=

DH

BH

=

AD

BC

=3，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°
∴AC=

1+3

=2，BD=

9+3

=2

3

從而CH=

1

2

，BH=

3

2

，
所以CH²+BH²=BC²，CH⊥BH，即AC⊥BD
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為四棱柱，AA₁⊥底面ABCD
所以側(cè)棱BB₁⊥底面ABCD，又AC?底面ABCD，所以BB₁⊥AC
因為BB₁∩BD=B，所以AC⊥平面BDD₁B₁，
因為AC?平面ACD₁，所以平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁．

點評：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．