Question

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，證明：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

Answer 1

分析：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，求出AB的方程、BC的方程，在邊CA上任取一點(diǎn)P（m，0），-a≤m≤a，求出P到AB的
距離PE，P到CB的距離為PF的值，再求出A到BC的距離為 h，可得PE+PF=h，命題得證．

解答：證明：設(shè)等腰三角形為ABC，以CA所在的直線(xiàn)為x軸，以CA的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
設(shè)A（a，0）、C（-a，0）、B（0，b），a＞0，b＞0．
則AB的方程為bx+ay-ab=0，BC的方程為bx-ay+ab=0，在邊CA上任取一點(diǎn)P（m，0），-a≤m≤a，
則P到AB的距離PE=

|bm-ab|

a2+b2

=

b(a-m)

a2+b2

，P到CB的距離為PF=

|bm+ab|

a2+b2

=

b(a+m)

a2+b2

．
故PE+PF=

b(a-m)

a2+b2

+

b(a+m)

a2+b2

=

2ab

a2+b2

．
而A到BC的距離為 h=

|ab-0+ab|

a2+b2

=

2ab

a2+b2

．
故PE+PF=h，即等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用坐標(biāo)法明數(shù)學(xué)命題，用截距式求直線(xiàn)的方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．