Question

如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，D是AB的中點，F(xiàn)是BC上的一點，AF交CD于點E，且CE=DE，將△ACD沿CD折起，使二面角A-CD-B的大小為120°．

（1）求證：平面AEF⊥平面CBD；
（2）求二面角F-AC-E的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得△ACD是等邊三角形，CD=BD，∠B=30°，AF⊥CD，從而折疊后AE⊥CD，EF⊥CD，由此能證明平面AEF⊥平面CBD．
（2）以E為原點，EC為x軸，EF為y軸，過E垂直于平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面CAF的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角F-AC-E的余弦值．

解答： （1）證明：由已知得△ACD是等邊三角形，CD=BD，∠B=30°，
∴AF⊥CD，∴折疊后AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，∴CD⊥平面AEF，
又CD?平面CBD，∴平面AEF⊥平面CBD．
（2）解：以E為原點，EC為x軸，EF為y軸，
過E垂直于平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CD=2，則C（1，0，0），F(xiàn)（0，

3

3

，0），
A（0，-

3

2

，

3

2

），E（0，0，0），

CA

=（-1，-

3

2

，

3

2

），

CF

=（-1，

3

3

，0），
設(shè)平面CAF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • CA =-x- 3 2 y+ 3 2 z=0 n • CF =-x+ 3 3 y=0

，
取y=

3

，得

n

=（1，

3

，

5

3

），

EA

=（0，-

3

2

，

3

2

），

EC

=（1，0，0），
設(shè)平面ACE的法向量

m

=（a，b，c），
則

n • EA =- 3 2 y+ 3 2 z=0 n • EC =x=0

，取y=

3

，得

m

=（0，

3

，1），
設(shè)二面角F-AC-E的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=

3+ 5 3

61 9 • 4

=

7 61

61

．
∴二面角F-AC-E的余弦值為

7 61

61

．

點評：本題考查線面關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角、三角形等基礎(chǔ)知識，考查思維能力、空間想象能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力．