Question

解關(guān)于x的不等式：
（1）x²-2（a+1）x+1＜0（a∈R）；
（2）ax²-（a-8）x+1＞0（a∈R）．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）對△分類討論，即可得出不等式的解集；
（2）對a和△分類討論，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）△=4（a+1）²-4=0時，解得a=0或-2．
當a=0或-2時，不等式化為（x±1）²＜0，此時不等式的解集為∅．
由△＞0解得a＞0或a＜-2，此時不等式化為[x-(a+1)-

a2+2a

] [x-(a+1)+

a2+2a

]＜0，
解得a+1-

a2+2a

＜x＜a+1+

a2+2a

，此時不等式的解集為：
{x|a+1-

a2+2a

＜x＜a+1+

a2+2a

}；
△＜0時，即-2＜a＜0時，不等式的解集為∅．
綜上可得：-2≤a≤0時，不等式的解集為∅；
當a＞0或a＜-2時，不等式的解集為{x|a+1-

a2+2a

＜x＜a+1+

a2+2a

}．
（2）當a=0時，不等式化為8x+1＞0，解得x＞-

1

8

，此時不等式的解集為{x|x＞-

1

8

}．
當a≠0時，由△=（a-8）²-4a＞0，解得a＞16或a＜4．
∴當a＞16或a＜4且a≠0時，不等式化為a(x-

a-8+ a2-20a+64

2a

)(x-

a-8- a2-20a+64

2a

)＞0．
當a＞16或0＜a＜4時，不等式的解集為{x|x＞

a-8+ a2-20a+64

2a

或x＜

a-8- a2-20a+64

2a

}．
當a＜0時，不等式的解集為{x|

a-8- a2-20a+64

2a

＜x＜

a-8+ a2-20a+64

2a

}．
綜上可得：當a=0時，不等式的解集為{x|x＞-

1

8

}．
當a＞16或0＜a＜4時，不等式的解集為{xx＞

a-8+ a2-20a+64

2a

或x＜

a-8- a2-20a+64

2a

}．
當a＜0時，不等式的解集為{x|

a-8- a2-20a+64

2a

＜x＜

a-8+ a2-20a+64

2a

}．

點評：本題考查了一元二次不等式和一元二次方程的解法和分類討論，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．