Question

已知曲線

x=2 3 cosθ y=4sinθ

上一點P到兩定點A（0，-2）、B（0，2）的距離之差為2，則

AP

•

BP

為

 

．

Answer 1

分析：把已知曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再求出雙曲線的方程，將兩曲線的方程聯(lián)立方程組可解得x²=9，y²=4，代入

AP

•

BP

=（x，y+2）（x，y-2）=x²+y²-4進(jìn)行運算可得答案．

解答：解：曲線

x=2 3 cosθ y=4sinθ

，即  

x2

12

+

y2

16

=1，到兩定點A（0，-2）、B（0，2）的距離之差為2的點的軌跡
是以兩定點A、B為焦點的雙曲線，2a=2，c=2，∴b=

3

，
∴雙曲線的方程為 

y2

1

-

x2

3

=1，點P（x，y），
把  

x2

12

+

y2

16

=1 和  

y2

1

-

x2

3

=1聯(lián)立方程組可解得   x²=9，y²=4，
則

AP

•

BP

=（x，y+2）（x，y-2）=x²+y²-4=9+4-4=9，
故答案為9．

點評：本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求兩曲線的交點的坐標(biāo)，以及兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用．