Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－1，0)，且點(diǎn)P(0，1)在C1上．

(1)求橢圓C1的方程；

(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程．

 

Answer 1

(1)＋y2＝1； (2)y＝x＋或y＝－x－.

【解析】

試題分析：(1)由于橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，知其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸就是兩坐標(biāo)軸，所以由已知可直接得到半焦距c及短半軸b的值，然后由 求得的值，進(jìn)而就可寫(xiě)出橢圓的方程；(2)由已知得，直線l的斜率顯然存在且不等于0，故可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，然后聯(lián)立直線方程與橢圓C1的方程，消去y得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程，由直線l同時(shí)與橢圓C1相切知，其判別式等于零得到一個(gè)關(guān)于k,m的方程；再聯(lián)立直線l與拋物線C2的方程，消去y得到關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程，由直線l同時(shí)與拋物線C2相切知，其判別式又等于零，再得到一個(gè)關(guān)于k,m的方程；和前一個(gè)方程聯(lián)立就可求出k,m的值，從而求得直線l的方程．

試題解析：(1)因?yàn)闄E圓C1的左焦點(diǎn)為F1(－1，0)，

所以c＝1.將點(diǎn)P(0，1)代入橢圓方程＝1，

得＝1，即b＝1. 所以a2＝b2＋c2＝2.

所以橢圓C1的方程為＋y2＝1.

(2)由題意可知，直線l的斜率顯然存在且不等于0，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

因?yàn)橹本�l與橢圓C1相切，

所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.

整理，得2k2－m2＋1＝0， ①

由消y，得

k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.

∵直線l與拋物線C2相切，

∴Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理，得km＝1， ②

聯(lián)立①、②，得或

∴l(xiāng)的方程為y＝x＋或y＝－x－.

考點(diǎn)：１．橢圓的方程；２．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．